Formule.cz - KERS: Alea iacta est

Káťa Macháčková
12.02. 2010

Káťa Macháčková
12.02. 2010

Jak funguje systém znovuobnovy kinetické energie?

Text: Dušan Šimek

Rozeberme si nyní podrobněji dynamiku jízdy monopostu tak, abychom byli schopni výpočtově porovnat různé případy použití KERSu a následně se pokusme odpovědět na řadu otázek vás čtenářů našeho serveru, které byly v několika nedávných diskuzích vysloveny. Na obr.4 vidíme zjednodušené rozložení sil působících na monopost, kde značí F_H=hnací síla vyvozená motorem, F_a=aerodynamický odpor, F_m=mechanické ztráty (včetně valivého odporu pneu) a D=d’Alembertova (setrvačná) síla, která vyjadřuje podíl hnací síly na zrychlení monopostu (pokud jede monopost konstantní rychlostí, je d‘Alembertova síla nulová- monopost nezrychluje; pokud by naopak monopost zpomaloval, bude síla D záporná).

Obr. 4

Rovnováhu sil vyjadřuje rovnice (6):

F_H – F_a – F_m – D = 0 (6)

O aerodynamickém odporu víme, že bude růst s kvadrátem rychlosti, pro mechanické ztráty přijmeme zjednodušený předpoklad, že s rychlostí porostou lineárně. Pro součet ztrát bude tudíž platit

F_Z = F_a + F_m = konst_a * w² + konst_m * w (7)

Vzhledem k tomu, že při dosažení určité limitní rychlosti (top speed) monopost přestane dále zrychlovat (a celá síla motoru se spotřebuje pouze na překonání odporů- d‘Alembertova síla D=0), přechází rovnice (6) do tvaru

(F_H)_w.lim = F_Z = konst_a * (w_lim)² + konst_m * (w_lim) (8)

Hnací sílu motoru F_H známe detailně, pokud známe data motoru a převodů a před časem jsme pro ni zde odvodili vztah

F_H = (30/π) * P_e * (i_c / n_m) / r_k [N; W, 1/min, m] (9)

Naopak detailní rozložení ztrát známo není, takže nám nezbývá než odhadnout, jak se budou jednotlivé složky F_a a F_m podílet na konečném odporu, abychom byli schopni stanovit konstanty potřebné pro náš výpočet. Předpokládejme, že mechanické ztráty dosáhnou 15% a aerodynamické ztráty 85% z celkové hnací síly motoru při limitní rychlosti w_lim. Nyní již snadno stanovíme konstanty jednotlivých odporových sil tak, že

konst_a = (85/100) * (F_H)_w.lim / (w_lim)²[kg/m; N, m/s] (10)

konst_m = (15/100) * (F_H)_w.lim / w_lim [kg/s; N, m/s] (11)

Protože směřujeme k popisu zrychlení monopostu vzhledem k času jízdy, budeme nezbytně potřebovat vyjádřit zrychlení jako funkci parametrů motoru a převodových čísel (se zahrnutím základních jízdních odporů). Potřebná proměnná je obsažena v setrvačné síle D jakožto součin zrychlení a hmotnosti:

D = m * a [N; kg, m/s²] (12)

a my dostáváme úpravou rovnice (6) konečný výpočtový vztah pro zrychlení monopostu

m * a = D = F_H – F_Z = F_H – (konst_a * w² + konst_m * w) (13)

a = [F_H – (konst_a * w² + konst_m * w)] / m (14a)

Pro případ, že vezmeme v potaz i sílu vyvozenou KERSem, vztah (14a) přejde do lehce zmodifikovaného tvaru (14b):

a = [(F_H+ F_KERS) – (konst_a * w² + konst_m * w)] / m (14b)

Pokud si vzpomeneme na odvození T-w diagramu (informovali jsme zde) tak víme, že hnací síla F_H je „převlečený“ točivý moment na kolech monopostu (F_H=T_k/poloměr kola) a lze ji tudíž velmi snadno odvodit, známe-li průběh výkonové křivky motoru a převodová čísla. Najednou se, vzhledem k rovnicím (14), dostáváme k velmi zásadnímu závěru, že totiž odečtením ztrát (které popisuje rovnice (7)) od hnací síly (která je měřítkem točivého momentu na kolech) a vydělením hmotností dostáváme závislost zrychlení monopostu na jeho rychlosti, viz obr.5:

Obr. 5

Při tvorbě a-w diagramu (obr.5) jsme využili kvůli kontinuitě článků údaje publikované zde (obr.5 a obr.8). Podle tohoto nastavení je maximální teoretická rychlost monopostu (daná omezovačem otáček motoru) w_max=320km/hod; na tuto rychlost se však monopost nikdy nedostane (ledaže by jel z kopce). Nejvyšší dosažitelná rychlost v našem případě bude w_lim=300km/hod (top speed) a v ideálním případě odpovídá provoznímu bodu motoru s maximálním výkonem; tuto rychlost použijeme pro výpočet konstant ve vztazích (10) a (11). Všimněte si, že pro w=w_lim=300km/hod je velikost ztrát F_Z=(F_mMAX+F_aMAX) právě rovna hnací síle motoru a má velikost 6.7kN (tzn., že při top speedu působí proti síle vyvozené motorem odporová síla, která odpovídá hmotnosti 680kg). Tmavě modrá schodovitá čára znázorňuje hnací sílu od motoru F_H (jako podíl točivého momentu na kolech a poloměru kol), šedé s černou čerchované křivky znázorňují jízdní odpory (rostoucí s rychlostí; jejich jednotlivá maxima ukazují kóty F_mMAX=konst_m*w_lim a F_aMAX=konst_a*(w_lim)²), a světle-modrá schodovitá čára znázorňuje výslednou (setrvačnou) sílu, která monopost urychluje (je kreslena jako rozdíl hnací síly a ztrát) a současně představuje průběh zrychlení monopostu (dle (14)), jehož hodnoty lze odečítat na ose pořadnic pro zrychlení a[m/s²]. V obr.5 máme dále zobrazen průběh síly , kterou vyvine KERS (zelená hyperbolická čára), která vychází z předpokladu plného využití výkonu 60kW a podléhá vztahu

F_KERS = P_KERS / w [N; W, m/s] (15)

Přičtením síly F_KERS k výsledné setrvačné síle (F_H-F_Z) dostáváme červenou schodovitou křivku, která ukazuje nárůst urychlovací síly (potažmo zrychlení) působící na monopost při aktivaci KERSu. Tak můžeme v grafu např. pro rychlost w=200km/hod odečíst velikost hnací síly vyvozené motorem (10kN), velikost jízdních odporů (3.2kN), velikost urychlující setrvačné síly (6.7kN) a nárůst této síly vlivem aktivace KERSu (7.75kN), jakož i hodnotu zrychlení pro neaktivní KERS (11.25 m/sec²) anebo pro aktivní KERS (13.06 m/sec²).

Nyní, na základě znalosti závislosti zrychlení na rychlosti a=f(w), jsme schopni spočítat průběh času jízdy monopostu vzhledem k jeho rychlosti; použijeme k tomu numerickou iteraci a definičních vztahů dle obr.6:

Obr. 6

Takto jsme získali křivky průběhů času v závislosti na rychlosti, během kterého monopost zrychluje a vynesli jsme je v pravé části grafu na obr.5 čárkovanou křivkou tak, že modrá barva odpovídá vývoji času pro neaktivní KERS a červená křivka ukazuje průběh času jízdy při aktivovaném KERSu. Dospěli jsme tak k zajímavým výsledkům, a sice pro případ odečtu času z rychlosti 130km/hod jsme limitní rychlosti 300km/hod dosáhli za 15.28 sekund při neaktivním KERSu, zatímco s aktivním KERSem o více než 3 sekundy dříve (za 12 sekund).

Jakým způsobem tato okolnost ovlivní jízdní výkon monopostu, jaký přínos lze předpokládat během startovací procedury a další aplikace použití KERSu si přehledně zhodnotíme v závěrečném dílu naší trilogie.